يُعد إكمال المربع طريقة مفيدة لإعادة ترتيب المعادلة التربيعية بحيث يسهل تصورها وحلها. يمكنك إكمال المربع لإعادة ترتيب صيغة تربيعية أكثر تعقيدًا وكذلك لحل المعادلات التربيعية. إذا كنت تريد معرفة كيفية إكمال المربع، فما عليك سوى اتباع الخطوات الواردة في هذه المقالة.
خطوات
تحويل المعادلة من النموذج القياسي إلى الشكل العمودي
1 اكتب المعادلة. لنفترض أنك قمت بحل المعادلة التالية 3×2 – 4x + 5.
2 أوجد العامل المشترك بين أول حدين تربيع. للحصول على ثلاثة من أول حدين، ما عليك سوى أخذ 3 ووضعها بين قوسين حول هذين المصطلحين، قسمة كل حد على 3. عندما يتم قسمة 3×2 على 3، فإنه يساوي x2، و 4x على 3 يساوي 4 / 3x . لذا ستبدو المعادلة الجديدة على النحو التالي 3 (x2 – 4 / 3x) + 5. سيبقى الرقم 5 خارج المعادلة لأنك لم تقسمها على 3.
3 قسّم الحد الثاني على اثنين واربطه. المصطلح الثاني، المعروف أيضًا باسم المصطلح “b” في المعادلة، هو 4/3. قسّم الحد الثاني إلى نصفين (أي اقسمه على اثنين) أولاً. 4/3 ÷ 2 أو 4/3 x ½ تساوي 2/3. الآن قم بتربيع هذا الحد عن طريق تربيع كل من بسط الكسر ومقامه (2/3) 2 = 4/9. اكتب هذا الحد. X موارد البحث
4 أضف هذا الحد واطرحه من المعادلة. ستحتاج إلى هذا المصطلح “الإضافي” لتحويل المصطلحات الثلاثة الأولى في هذه المعادلة إلى مربع كامل، لكن لا تنس أنك أضفته بطرحه من المعادلة في نفس الوقت. لاحظ أنك لن تكون راضيًا عن جمع المصطلحين معًا بعد وضع هذين المصطلحين المتعارضين، لأنهما سيخضعان لبعضهما البعض وستعود إلى حيث بدأت، ولكن يجب أن تكون المعادلة الجديدة بالشكل التالي 3 (x2 – 4/3 x + 4/9 – 4/9) + 5 X. مصدر البحث
5 احذف الحد الذي طرحته من الأقواس. نظرًا لأن لديك المعامل 3 خارج الأقواس، فلا يمكنك فقط إخراج -4/9، ولكن عليك مضاعفة 3 أولاً. -4/9 × 3 = -12/9 أو -4/3. إذا كنت تتعامل مع معادلة يكون فيها الأس للحد x2 أكبر من 1، فيمكنك تخطي هذه الخطوة.
6 حوّل الحدود بين القوسين إلى مربع كامل. الآن يتبقى لديك 3 (x2 -4 / 3x +4/9) في الأقواس. لقد عملت بالعكس للحصول على 4/9، وهي طريقة أخرى لإيجاد الحد الذي يكمل المربع. لذا يمكنك كتابة هذه الحدود على النحو التالي 3 (x – 2/3) 2. كل ما عليك فعله هو تقسيم الحد الثاني إلى نصفين وإلغاء الحد الثالث. يمكنك التحقق مما إذا كانت هذه الخطوات صحيحة بضربها في 3 مرة أخرى، لمعرفة ما إذا كان ذلك سيؤدي إلى أول ثلاثة مصطلحات من المعادلة. X موارد البحث
- 3 (س – 2/3) 2 =
- 3 (س – 2/3) (س -2/3) =
- 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (× 2 – 4/3 × + 4/9)
7 جمع الشروط الثابتة. لديك الآن حدان ثابتان، أو مصطلحات غير مرتبطة بالمتغيرات، والمعادلة هي 3 (x – 2/3) 2 – 4/3 + 5. كل ما عليك فعله هو إضافة -4/3 إلى 5 للحصول على 11 / 3. يمكنك عمل هذه الإضافة بجمع المقامات على النحو التالي -4/3 و 15/3، ثم جمع البسطين للحصول على 11، وترك المقام 3 كما هو.
- -4/3 + 15/3 = 11/3.
8 اكتب المعادلة عموديًا. لقد انتهيت من تحويل المعادلة إلى صورة رأسية، وصيغتها النهائية هي 3 (x – 2/3) 2 + 11/3. يمكنك إلغاء المعامل 3 بقسمة طرفي المعادلة للحصول على (x – 2/3) 2 + 11/9. بهذا تكون قد نجحت في عمل المعادلة بالصورة الرأسية، وهي a (x – h) 2 + k، حيث يمثل k الحد الثابت.
حل معادلة تربيعية
1 اكتب المسألة. لنفترض أنك قمت بحل المعادلة التالية 3×2 + 4x + 5 = 6
2 اجمع الحدود الثابتة وضعها في الجانب الأيسر من المعادلة. المصطلحات الثابتة هي أي مصطلحات غير مرتبطة بمتغير ؛ في هذه الحالة لديك الثوابت 5 في الجانب الأيسر و 6 في الجانب الأيمن. انقل 6 إلى اليسار بطرح 6 من طرفي المعادلة. سينتج عن ذلك 0 على الجانب الأيمن (6-6) و -1 على الجانب الأيسر (5-6). يجب أن تصبح المعادلة الآن 3×2 + 4x – 1 = 0. X هو موردي
3 احذف معامل الحد التربيعي. في هذه الحالة، 3 هو معامل الحد x2. لتحليل 3 من كل الحدود، ضع 3 في البداية، ثم ضع باقي الحدود بين قوسين، وقسم كل حد على 3. إذن 3×2 ÷ 3 = x2، 4x ÷ 3 = 4 / 3x، و 1 ÷ 3 = 1/3. يجب أن تصبح المعادلة الآن 3 (x2 + 4 / 3x – 1/3) = 0.
4 اقسم على الثابت الذي أخرجته من المعادلة. هذا يعني أنه يمكنك التخلص من الحد 3 المزعج خارج الأقواس إلى الأبد، نظرًا لأنك قسمت كل حد على 3، فيمكنك إزالته دون التأثير على المعادلة. الآن لديك x2 + 4 / 3x – 1/3 = 0
5 قسّم الحد الثاني على اثنين وربعه. بعد ذلك، خذ المصطلح الثاني 4/3 المعروف أيضًا باسم “b” وإيجاد نصفه. 4/3 ÷ 2 أو 4/3 x 1/2 تساوي 4/6 أو 2/3. و 2/3 تربيع يساوي 4/9. عند الانتهاء، يجب عليك كتابتها على يسار ويمين المعادلة لأنك تضيف مصطلحًا جديدًا. ستحتاجهم في كلا طرفي المعادلة للحفاظ على قيمتها كما هي. يجب أن تبدو المعادلة الآن كما يلي x2 + 4/3 x + 2/32 – 1/3 = 2/32
6 انقل الحد الثابت الأصلي إلى الجانب الأيمن من المعادلة وأضفه إلى الحد الموجود في ذلك الجانب. انقل الحد الثابت الأصلي -1/3 إلى الجانب الأيمن ليصبح 1/3، واجمعه مع المصطلح الذي وضعته للتو هنا 4/9 أو 2/32. ابحث عن مقام مشترك لإضافة 1/3 إلى 4/9 بضرب كل من بسط ومقام 1/3 في 3. 1/3 × 3/3 = 3/9. أضف الآن 3/9 و 4/9 لإيجاد 7/9 على الجانب الأيمن من المعادلة، والتي تعطي x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 ثم x2 + 4 / 3 × + 2/32 = 7/9.
7 اكتب الطرف الأيسر من المعادلة كمربع كامل. نظرًا لأنك استخدمت معادلة للعثور على المصطلح المفقود، فقد انتهى الجزء الصعب بالفعل. كل ما عليك فعله هو وضع x ونصف المعامل الثاني بين قوسين وتربيعهما، مثل (x + 2/3) 2. لاحظ أن وضع هذا المربع الكامل في الاعتبار يمنحك المصطلحات الثلاثة x2 + 4/3 x + 4/9. يجب أن تصبح المعادلة الآن (x + 2/3) 2 = 7/9.
8 أوجد الجذر التربيعي للطرفين. الجذر التربيعي لـ (x + 2/3) 2 على الجانب الأيسر من المعادلة هو ببساطة x + 2/3، والجذر التربيعي على الجانب الأيمن هو +/- (√7) / 3. الجذر التربيعي للمقام 9 هو العدد الصحيح 3 والجذر التربيعي لـ 7 هو √7. تذكر أن تكتب +/- لأن الجذر التربيعي يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا.
9 اعزل المتغير. لعزل المتغير x، حرك ببساطة الحد الثابت 2/3 إلى الجانب الأيمن من المعادلة. الآن بعد أن أصبح لديك نتيجتان محتملتان لـ x ± (√7) / 3 – 2/3، هذه هي حلول معادلتك. يمكنك تركه عند هذا الحد أو حساب الجذر التربيعي الفعلي لـ 7 إذا كنت تريد إجابة بدون علامة جذرية.
أفكار مفيدة
- تأكد من وضع علامة ± في مكانها، وإلا ستكون إجابتك أحد حلين محتملين للمشكلة.
- حتى بعد أن تعرف الصيغة التربيعية، تدرب بشكل دوري على إكمال المربع إما عن طريق إثبات الصيغة التربيعية أو عن طريق القيام ببعض مسائل التدريب، وبهذه الطريقة لن تنسى كيفية حل هذا النوع من المسائل.