تلتقي الخطوط التي تتقاطع في رسم بياني ثنائي الأبعاد عند نقطة واحدة فقط، وهي موصوفة بمجموعة من الإحداثيات على محوري x و y. أنت تعلم أن إحداثيات X و Y يجب أن تفي بكلتا المعادلتين لأن كلا الخطين يمران بالنقطة. يمكنك إيجاد نقاط تقاطع القطع المكافئ والمنحنيات التربيعية الأخرى بمنطق مماثل باستخدام طريقتين إضافيتين.
خطوات
أوجد نقطة تقاطع خطين مستقيمين
1 اكتب معادلات المستقيمين بحيث يكون Y في الطرف الأيمن. أعد ترتيب المعادلة إذا لزم الأمر بحيث يكون Y وحده على جانب واحد من علامة التساوي. إذا كنت تستخدم المعادلة D (X) أو E (X)، فافصل هذا الرمز. تذكر أنه يمكنك إلغاء الحدود بإجراء نفس العمليات على كلا الجانبين.
- ابحث عن المعادلات إذا كنت لا تعرفها بناءً على المعلومات المقدمة.
مثال الخطان هما y = x + 3 2 سوي الطرف الأيسر من المعادلتين. نبحث عن نقطة يتساوى فيها X و Y للخطين لأنها نقطة تقاطعهما. لا يوجد سوى Y في الجانب الأيمن من المعادلتين، لذا نعلم أن الطرف الأيسر متساوٍ. اكتب معادلة جديدة تمثل هذا.
مثال نعلم أن Y = X + 3 3 حل المعادلات لإيجاد قيمة X. لا يوجد سوى متغير واحد في المعادلة الجديدة وهو X. أوجد قيمته عن طريق الجبر عن طريق إجراء نفس العملية على كلا الجانبين. ضع المصطلحات التي تحتوي على X على جانب واحد من المعادلة ووضعها كـ X = —. (انتقل إلى نهاية هذا القسم إذا لم يكن ذلك ممكنًا.)
مثال X + 3 = 12−2X 4 استخدم قيمة X هذه للعثور على Y. اختر المعادلة لأي سطر واستبدل كل X في المعادلة بالإجابة التي وجدتها. قم بحساباتك لحساب قيمة Y.
مثال X = 3 5 راجع عملك. يعد استبدال قيمة X في المعادلة الأخرى ومعرفة ما إذا كنت ستحصل على نفس النتيجة فكرة جيدة. ارجع وتحقق من الحل الخاص بك بحثًا عن الأخطاء إذا حصلت على نتيجة مختلفة لقيمة Y.
مثال X = 3 6 اكتب إحداثيات X و Y لنقطة التقاطع. لقد عثرت الآن على قيمتي X و Y لنقطة تقاطع الخطين. اكتب النقطة كزوج إحداثيات، مع وضع قيمة X أولاً.
مثال X = 3 7 عالج النتائج غير العادية. بعض المعادلات تجعل إيجاد قيمة X أمرًا مستحيلًا. هذا لا يعني دائمًا أنك أخطأت. هناك طريقتان يؤدي بهما الخطان إلى حل معين
- لا تتقاطع الخطوط إذا كانت متوازية. سيتم إلغاء المصطلح الذي يحتوي على X وسيتم تبسيط معادلتك إلى عبارة غير صحيحة (على سبيل المثال 0 = 1 1) وصف المعادلات التربيعية. يتم تربيع متغير واحد أو أكثر في المعادلة التربيعية (على سبيل المثال x2 X مورد بحث X مورد بحث راجع قسم النصائح أدناه إذا كنت تواجه صعوبة في هذه الحالات الخاصة.
2 اكتب المعادلات في Y. أعد كتابة المعادلات مع وضع Y على جانب واحد إذا لزم الأمر.
مثال أوجد نقطة التقاطع x2 + 2x − y = −1 3 اجمع المعادلتين للتخلص من Y. بعد معادلة المعادلتين بـ “Y”، تعرف أن الضلعين الآخرين متساويان.
مثال Y = X2 + 2X + 1 4 رتب المعادلة الجديدة بحيث يكون أحد طرفيها يساوي صفرًا. استخدم الطرق الجبرية القياسية لوضع كل الحدود في جانب واحد. هذا يرتب المسألة حتى نتمكن من حلها في الخطوة التالية.
مثال X2 + 2X + 1 = X + 7 5 حل المعادلة التربيعية. توجد ثلاث طرق لحل معادلة تربيعية بعد ضبط جانب واحد على الصفر. تختلف سهولة الأساليب باختلاف الأشخاص. يمكنك القراءة عن القانون العام، أو إكمال المربع، أو اتباع هذا المثال الخاص بأسلوب التحليل
مثال x2 + x − 6 = 0 6 ركز على قيمتي X. إذا كنت تعمل بسرعة كبيرة، فقد تجد حلاً للمشكلة ولا تدرك أن هناك حلًا ثانيًا. إليك كيفية إيجاد قيم x للخطوط التي تتقاطع عند النقطتين
مثال (التحليل) انتهى بنا الأمر بالمعادلة (x − 2) (x + 3) = 0 7 حل المشكلات بحل أو بدون حل. هناك نقطة تقاطع واحدة فقط للخطوط التي بالكاد تلامس ولا توجد نقاط تقاطع للخطوط التي لا تتلامس. إليك كيفية اكتشاف ذلك
- حل واحد قسّم المسائل إلى عاملين متطابقين ((X-1) (X-1) = 0). حد الجذر التربيعي هو 0 8. عوض بقيم X في المعادلة الأصلية. عوّض بقيمة X لنقطة التقاطع بعد إيجادها في إحدى المعادلات التي بدأت بها. حل معادلة ص لإيجاد قيمتها. كرر هذا أيضًا إذا كانت هناك قيمة ثانية لـ X.
مثال وجدنا حلين X = 2 9 اكتب إحداثيات النقطة. اكتب الآن إجابتك بتنسيق التنسيق. أي عن طريق تحديد قيم X و Y لنقاط التقاطع. تأكد من مطابقة النقاط الصحيحة لـ X و Y إذا كان لديك إجابتين.
مثال نحصل على Y = 9 {\ displaystyle Y = 9} عندما نعوضه في X = 2 {\ displaystyle X = 2} لذا فإن نقطة التقاطع هي (2، 9). سنعرف من إجراء نفس العملية على المعادلة الثانية أن هناك نقطة تقاطع أخرى تقع عند (-3، 4).
- حل واحد قسّم المسائل إلى عاملين متطابقين ((X-1) (X-1) = 0). حد الجذر التربيعي هو 0 8. عوض بقيم X في المعادلة الأصلية. عوّض بقيمة X لنقطة التقاطع بعد إيجادها في إحدى المعادلات التي بدأت بها. حل معادلة ص لإيجاد قيمتها. كرر هذا أيضًا إذا كانت هناك قيمة ثانية لـ X.
أفكار مفيدة
- يوجد المصطلح X2 {\ displaystyle X ^ {2}} و Y2 {\ displaystyle Y ^ {2}} في معادلات الدائرة والقطع الناقص. أوجد قيمة X في المعادلة الخطية لإيجاد نقطة تقاطع الدائرة والخط المستقيم. عوّض بقيمة X في معادلة الدائرة، وستصبح المعادلة التربيعية أسهل. قد تجد حلاً أو اثنين لهذه المعادلات أو لا توجد حلول على الإطلاق كما أوضحنا في الطريقة أعلاه.
- يمكن أن يكون هناك 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 حلول لدائرة وقطع مكافئ (أو منحنى تربيعي آخر). أوجد المتغير التربيعي في المعادلتين، لنقل أنه X ^ 2. حل قيمة X2 {\ displaystyle X ^ {2}} واستبدل الإجابة في X2 {\ displaystyle X ^ {2}} في المعادلة الأخرى. حل معادلة ص لإيجاد حلين رقم 0 أو 1 أو 2. عوض بالحلول في المعادلة التربيعية الأصلية وابحث عن قيمة X. قد تحتوي هذه المعادلات على حل أو حلين، أو لا توجد حلول على الإطلاق.