كيفية تبسيط التعبيرات الجبرية

تعلم كيفية تبسيط التعبيرات الجبرية هو جزء أساسي من إتقان أساسيات الجبر وهو أداة قيمة للغاية يجب أن يمتلكها جميع علماء الرياضيات. يُمكِّن التبسيط أيضًا علماء الرياضيات من تغيير تعبير معقد مخيف و / أو طويل إلى معادل أكثر راحة وبساطة. يعد تعلم مهارات التبسيط الأساسية أمرًا سهلاً للغاية حتى بالنسبة لمن يكرهون الرياضيات. يمكنك تبسيط العديد من أكثر أنواع التعبيرات الجبرية شيوعًا دون أي نوع خاص من المعرفة الرياضية على الإطلاق باتباع بعض الخطوات البسيطة. انظر الخطوة 1 أدناه للبدء.

خطوات

افهم المفاهيم المهمة

1. 1 ميّز المصطلحات المتشابهة وفقًا للمتغيرات والأسس. تتميز المصطلحات المماثلة في الجبر بوجود أو عدم وجود نفس المتغير أو المتغيرات على الإطلاق، ويجب رفعها إلى نفس القوة أو عدم وجودها على الإطلاق. لا يهم ترتيب المتغيرات في النهاية.

   • 3×2 و 4×2 هما مصطلحان متشابهان لأن كلاهما يحتوي على x مرفوعًا للقوة التربيعية، لكن x و x2 ليسا عبارات متشابهة لأن كل حد يحتوي على x أسًا مختلفًا. وبالمثل، (-3hy) و (5hh) ليسا متشابهين لأن مجموعة المتغيرات مختلفة في المصطلحين.

2. 2 بكتابة الأعداد على أنها حاصل ضرب عاملين. التخصيم هو مفهوم تمثيل رقم معروف على أنه حاصل ضرب عاملين في بعضهما البعض. يمكنك العثور على أكثر من مجموعة واحدة من عوامل الأرقام، على سبيل المثال يمكن الحصول على الرقم 12 من ضرب 1 و 12 أو 2 و 6 أو 3 و 4 لذلك يمكننا القول أن 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12 هي جميع عوامل العدد 12. طريقة أخرى للتفكير في هذا هو أن عوامل العدد هي الأرقام التي تقبل القسمة على.

   • على سبيل المثال، إذا أردنا تحليل 20، فيمكننا كتابته على النحو 4 × 5.
   • لاحظ أنه يمكن أيضًا تحليل المتغير إلى عوامل، على سبيل المثال -20x يمكن كتابته كـ 4 (5x).
   • لا يمكن تحليل الأعداد الأولية لأنها قابلة للقسمة فقط على نفسها و 1.

3. 3 استخدم الاختصار “الوصول” لتذكر ترتيب العمليات. يعني تبسيط التعبير أحيانًا أكثر من تنفيذ العمليات الموضحة فيه حتى يتم الانتهاء منها جميعًا. في هذه الحالات، من المهم تذكر ترتيب العمليات حتى لا ترتكب أي أخطاء حسابية. يمكن أن يساعدك الاختصار “الوصول” على تذكر ترتيب العمليات. تتوافق الأحرف مع أنواع العمليات التي تحتاج إلى تنفيذها بالترتيب. يجب إجراء الضرب والقسمة من اليمين إلى اليسار إذا وُجدوا في نفس المسألة، وينطبق الشيء نفسه على الجمع والطرح. تعطي الصورة الموضحة أعلاه إجابة خاطئة لأن الخطوة الأخيرة لم تقم بعملية الجمع والطرح من اليمين إلى اليسار، بل بالأحرى الإضافة أولاً. يجب أن تظهر 25-20 = 5، ثم 5 + 6 = 11.

   • أقواس
   • قوي
   • لتضرب
   • جزء
   • جمع
   • طرح او خصم

الانضمام مثل الشروط

1. 1 اكتب معادلتك. أبسط المعادلات الجبرية، التي تحتوي على عدد قليل من المتغيرات ومعاملاتها هي الأعداد الصحيحة، بدون كسور، وجذور، وما إلى ذلك، يمكن حلها في خطوات قليلة فقط. الخطوة الأولى لتبسيط معادلة لمعظم المسائل الرياضية هي كتابتها.

   • لنأخذ التعبير 1 + 2x – 3 + 4x كمثال لخطواتنا القليلة التالية.

2. 2 تحديد مثل الحدود. بعد ذلك، أوجد الحدود المتشابهة في المعادلة. تذكر أن المصطلحات المتشابهة لها نفس المتغير (المتغيرات) والأس.

   • على سبيل المثال، دعنا نحدد المصطلحات المتشابهة في المعادلة 1 + 2x – 3 + 4x. نفس المتغير موجود في 2x و 4x ويتم رفعه إلى نفس القوة (x في هذه الحالة لا يتم رفعه إلى أي قوة على الإطلاق). بالإضافة إلى ذلك، فإن المصطلحين 1 و -3 متشابهان حيث لا توجد متغيرات في أي منهما. إذن، الحدود 2x، و 4x، و 1، و -3 متشابهة في المعادلة.

3. 3 انضم إلى الشروط المتشابهة. الآن بعد أن حددت الحدود المتشابهة، يمكنك دمجها لتبسيط المعادلة. أضف المصطلحات (أو اطرح في حالة المصطلحات السالبة) لتقليل كل مجموعة من نفس المتغيرات والأسس إلى مصطلح واحد.

   • دعنا نجمع المصطلحات المتشابهة في مثالنا.
     • 2 س + 4 س = 6 س
     • 1 + -3 = -2

4. 4 اصنع تعبير مبسط من الحدود المبسطة. بعد إضافة المصطلحات المتشابهة، شكّل تعبيرًا من مجموعة المصطلحات الصغيرة الجديدة. يجب أن تحصل على تعبير أبسط بمصطلح واحد لكل مجموعة مختلفة من المتغيرات والأسس في التعبير الأصلي. هذا التعبير الجديد يساوي الأول.

   • الحدود المبسطة في مثالنا هي 6x و -2، لذا فإن التعبير الجديد هو 6x -2. هذا التعبير المبسط يساوي الأصل (1 + 2x – 3 + 4x) ولكنه أقصر وأسهل، ومن السهل تحليله. هذه مهارة تبسيط مهمة أخرى كما سنرى أدناه.

5. 5 اتبع ترتيب العمليات عند إضافة شروط متشابهة. يعتبر التعرف على المصطلحات المتشابهة أمرًا بسيطًا في التعبيرات البسيطة جدًا – مثل تلك التي تناولناها في المشكلة أعلاه، ولكن في التعبيرات الأكثر تعقيدًا – مثل تلك التي تتضمن مصطلحات بين أقواس وكسور وجذريات – قد لا تكون المصطلحات التي يمكن إضافتها واضحة على الفور. اتبع ترتيب العمليات في هذه الحالات، وقم بتنفيذها وفقًا لشروط التعبير عند الضرورة حتى يتم تركك لعمليات الجمع والطرح.

   • على سبيل المثال، لنأخذ المعادلة 5 (3x -1) + x ((2x) / (2)) + 8 – 3x. سيكون من الخطأ تحديد 3x و 2x على الفور كمصطلحات متشابهة وإضافتها معًا لأن الأقواس في التعبير توضح أنه يتعين علينا إجراء عمليات أخرى أولاً. أولاً، دعنا نجري العمليات الحسابية على التعبير بترتيب العمليات للحصول على المصطلحات التي “يمكننا” استخدامها. انظر أدناه
     • 5 (3h -1) + h ((2h) / (2)) + 8 – 3h
     • 15 س – 5 س + (ح) +8 -3 س
     • 15 س – 5 س + 2 س + 8 س – 3 س. يمكننا الآن إضافة حدود متشابهة لأن العمليات المتبقية هي مجرد جمع وطرح.
     • s2 + (15 ساعة – 3 ساعات) + (8-5)
     • س 2 + 12 س +3

تحليل

1. 1 أوجد القاسم المشترك الأكبر في التعبير. العوملة هي طريقة لتبسيط التعبير عن طريق إزالة العوامل المشتركة في جميع مصطلحاته. أوجد القاسم المشترك الأكبر لجميع الحدود لتبدأ به، وبعبارة أخرى أكبر عدد يمكن القسمة عليه.

   • دعنا نستخدم المعادلة 9x 2 + 27x – 3. لاحظ أن كل حدود التعبير قابلة للقسمة على 3. يمكننا القول أن 3 هو العامل المشترك الأكبر في التعبير لأنه ليست كل الحدود قابلة للقسمة على أي عدد أكبر منه.

2. 2 قسّم حدود التعبير الجبري على العامل المشترك الأكبر. ثم قسّم كل حدود المعادلة على القاسم المشترك الأكبر الذي وجدته للتو. ستكون معاملات المصطلحات الناتجة أصغر مما كانت عليه في التعبير الأصلي.

   • دعنا نحلل المعادلة باستخدام القاسم المشترك الأكبر للعدد 3. سنقسم كل الحدود على 3 للقيام بذلك.
     • 9 س 2/3 = 3 س 2
     • 27 ساعة / 3 = 9 ساعات
     • -3/3 = -1
     • إذن، التعبير الجديد هو 3×2 + 9x -1.

3. 3 مثل التعبير على أنه حاصل ضرب القاسم المشترك الأكبر في باقي الحدود. تعبيرك الجديد لا يساوي التعبير القديم لذا فإن القول بأنه اختصار ليس دقيقًا. علينا أخذ حقيقة القسمة على العامل المشترك الأكبر في الاعتبار حتى نساوي المقدارين. ضع تعبيرك الجديد بين قوسين وضع القاسم المشترك الأكبر للمعادلة الأصلية كمعامل لها.

   • سنضع التعبير الجديد 3×2 + 9x – 1 بين قوسين ونضربه في أكبر عامل مشترك في المعادلة الأصلية لنحصل على 3 (3×2 + 9x – 1). هذه المعادلة تساوي 9×2 + 27x -3 الأصلية.

4. 4 استخدم التحليل لتبسيط الكسور. الآن قد تتساءل عن سبب فائدة التحليل في حالة ضرورة ضرب القاسم المشترك الأكبر بعد حذفه. في الواقع، يمكّن التحليل علماء الرياضيات من أداء العديد من الحيل لتبسيط التعبير. تتمثل إحدى أسهل هذه الحيل في الاستفادة من حقيقة أن ضرب بسط ومقام كسر في العدد نفسه يعطي كسرًا مكافئًا. انظر أدناه

   • لنفترض أن التعبير الأصلي في مثالنا 9×2 + 27x -3 هو بسط كسر أكبر مقامه 3. سيبدو هذا الكسر كما يلي 9×2 + 27x -3 / 3. يمكننا استخدام التحليل إلى عوامل لتبسيط هذا الكسر.
     • لنعوض بالصيغة المحللة إلى عوامل للتعبير الأصلي في البسط (3 (3×2 + 9x -1)) / 3
     • لاحظ الآن أن المعامل المشترك للبسط والمقام هو 3. نحصل على (3×2 + 9x -1) / 1 بقسمة البسط والمقام على 3.
     • يمكننا القول أنه يمكننا تبسيط الكسر الأصلي إلى 3×2 + 9x – 1 لأن الكسر بمقام واحد يساوي البسط.

تطبيق مهارات تبسيط إضافية

1. 1 بسّط الكسور بالقسمة على العوامل المشتركة. يمكن حذف العوامل من كسر كامل إذا كانت مشتركة بين كل من البسط والمقام كما أشرنا أعلاه. سيتطلب هذا أحيانًا تحليل البسط أو المقام أو كليهما (كما في حالة المثال أعلاه) بينما في أحيان أخرى تكون العوامل المشتركة واضحة للوهلة الأولى. لاحظ أنه يمكن قسمة حدي البسط على تعبير المقام بشكل منفصل للحصول على تعبير مبسط.

   • لنأخذ مثالاً لا يتطلب بالضرورة تحليلًا مطولًا. على سبيل المثال، في حالة الكسر (5×2 + 10x + 20) / 10، قد نرغب في قسمة كل حدود البسط على 10 في المقام لتبسيطه، حتى لو كان معامل “5” في 5×2 المصطلح ليس أكبر من 10، لذلك لا يمكننا تحليل 10.
     • عند القيام بذلك، نحصل على ((5×2 / 10) + x +2. قد نرغب في إعادة كتابة الحد الأول كـ (1/2) x2 لنحصل على (1/2) x2 + x +2 إذا أردنا.

2. 2 استخدم العوامل التربيعية لتبسيط الجذور. تسمى التعبيرات الموجودة أسفل علامة الجذر التربيعي بالتعبيرات الجذرية. يمكن تبسيط هذه التعبيرات باختيار العوامل المربعة (العوامل التي تمثل مربع عدد صحيح) وتجذيرها بشكل منفصل لإخراجها من تحت علامة الجذر.

   • لنأخذ المثال البسيط-(90). إذا اعتبرنا العدد 90 هو حاصل ضرب العاملين 9 و 10، فيمكننا أخذ الجذر التربيعي لـ 9 للحصول على العدد الصحيح 3 وإزالته من تحت علامة الجذر. بعبارة أخرى
     • √ (90)
     • √ (9 * 10)
     • (√ (9) * √ (10))
     • 3 * √ (10)
     • 3 √ (10)

3. 3 اجمع الأسس عند ضرب حدين أسيين واطرحهما عند القسمة. تتطلب بعض التعبيرات الجبرية الضرب أو القسمة للمصطلحات الأسية. اجمع الأسس عند الضرب واطرح الأس عند القسمة لتوفير الوقت بدلًا من حساب كل أس والقيام بالضرب أو القسمة باليد. يمكن أيضًا استخدام هذا المفهوم لتبسيط التعبيرات التي تتضمن متغيرات.

   • لنأخذ التعبير 6×3 * 8×4 + (x17 / x15) كمثال. سنطرح الأسس أو نجمعها في كل مرة يتعين علينا الضرب أو القسمة لإيجاد الحد المبسط بسرعة. انظر أدناه
     • 6 س 3 * 8 س 4 + (س 17 / س 15)
     • (6 * 8) س 3 + 4 + (س 17 – 15)
     • 48 Q7 + Q2
   • انظر أدناه للحصول على شرح لكيفية عمل هذه الطريقة
     • إن ضرب المصطلحات الأسية هو في الأساس نفس ضرب التعبيرات الموسعة من المصطلحات غير الأسية. على سبيل المثال، Q3 = Q * Q * Q، Q5 = Q * Q * Q * Q * Q، Q3 * Q5 = (Q * Q * Q) * (Q * Q * Q * Q * Q) أو Q8.
     • وبالمثل، فإن قسمة المصطلحات الأسية مماثلة لتقسيم التعبير الطويل عن المصطلحات غير الأسية. Q5 / Q3 = (Q * Q * Q * Q * Q) / (Q * Q * Q). سيتبقى لدينا xs في البسط وسيكون المقام فارغًا لأن كل حد في البسط يمكن حذفه بآخر يطابقه في المقام، وبالتالي نحصل على الإجابة x2

أفكار مفيدة

• تذكر دائمًا أنه يجب أن تفكر في هذه الأرقام على أنها تحتوي على إشارات إيجابية وسلبية. يتعثر الكثير من الناس في التفكير، “ما هي العلامة التي يجب أن أضعها هنا”
• اطلب المساعدة عند الحاجة
• إن تبسيط التعبيرات الجبرية ليس بالأمر السهل، ولكن بمجرد إتقانها، ستستخدمها لبقية حياتك.

تحذيرات

• احرص على عدم إضافة رقم إضافي أو أس أو عملية خارج المكان عن طريق الخطأ.
• ابحث دائمًا عن مصطلحات متشابهة ولا ينخدع الأسس.