كيفية تبسيط العبارات الرياضية

غالبًا ما يُطلب من طلاب الرياضيات كتابة النتيجة في “أبسط أشكالها” ؛ مما يعني كتابتها بسلاسة قدر الإمكان. على الرغم من أن عبارتين طويلتين غير منظمتين وواحدة قصيرة وأنيقة يمكن أن تكون متطابقة، إلا أن مسائل الرياضيات غالبًا ما تعتبر غير مكتملة حتى يتم تبسيط النتيجة إلى أبسط أشكالها، وغالبًا ما تكون أبسط الإجابات هي أبسط العبارات التي يمكن التعامل معها رياضيًا. هذه هي الأسباب التي تجعل تعلم تبسيط التعبيرات الرياضية مهارة أساسية لأي طالب طموح في الرياضيات.

خطوات

استخدم ترتيب العمليات

1. 1 تعرف على ترتيب العمليات. لا يمكنك ببساطة الدوران أثناء الحل من اليمين إلى اليسار وفقًا للترتيب المكتوب للمسألة، لذا يمكنك الضرب والجمع والطرح وما إلى ذلك في العمليات المقابلة، لأن بعض العمليات الحسابية لها الأسبقية على غيرها ويجب حلها أولاً. بدلاً من ذلك، يؤدي حل العمليات بترتيب مختلف إلى حلول خاطئة، وليس مجرد حلول بسيطة. ترتيب العمليات هو الحدود بين الأقواس، ثم الأس، ثم الضرب والقسمة، وأخيرًا الجمع والطرح.

   • لاحظ أنه على الرغم من أن المعرفة الأساسية بترتيب العمليات كافية لجعل من الممكن تبسيط معظم التعبيرات البسيطة، إلا أنه عند تبسيط التعبيرات ذات التعبئة المتغيرة – مثل جميع كثيرات الحدود تقريبًا – هناك حاجة إلى طرق متخصصة. انظر الجزء الثاني من المقالة لمعرفة المزيد.

2. 2 ابدأ بحل كل الحدود بين قوسين. تشير الأقواس في الرياضيات إلى أنه يجب حساب الأجزاء الداخلية بشكل منفصل عن بقية مصطلحات المشكلة. عند محاولة تبسيط مسألة ما، تأكد من أن تبدأ بحساب ما بين القوسين، أيًا كان نوع العمليات الموجودة فيهما. ومع ذلك، احرص على اتباع ترتيب العمليات المذكورة أعلاه حتى داخل كل قوس، حيث يجب عليك الضرب قبل أن تضيف أو تطرح … وهكذا.

   • مثال لنحاول تبسيط التعبير 2x + 4 (5 + 2) + 32 – (3 + 4/2). في هذا المقدار، سنبدأ بحل الأقواس 5 + 2 و 3 + 4/2. وهكذا 5 + 2 = 7، 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • تم تبسيط الحد الثاني بين قوسين إلى 5 لأن ترتيب العمليات يتطلب أن نقسم 4/2 كخطوة أولى عند حل ما بين هذين القوسين. لكن إذا كسرنا هذا الترتيب وعاملنا في ترتيب الكتابة ببساطة، أضفنا 3 و 4 أولاً ثم قسمنا النتيجة على 2، نحصل على 7/2 وهو غير صحيح.
   • ملاحظة إذا وجدت الكثير من الأقواس المتداخلة (قوسين داخل قوسين داخل قوسين …)، فابدأ بحل الأقواس الداخلية أولاً، ثم الثاني، ثم الثالث … وهكذا.

3. 3 احسب الأسس. بعد حل الأقواس هو إيجاد الأسس للأعداد المرفوعة للقوى. يسهل تذكر ذلك لأن الأساس والأسس يكونان بارزين عند ظهورهما معًا في المسألة. حدد نتيجة كل مسألة مرفوعة للقوة ثم عوض بالنتيجة في المكان الذي توجد فيه الأرقام الأصلية في المعادلة.

   • شكل التعبير الرياضي السابق بعد حل الأقواس فيه أصبح 2x + 4 (7) + 32 – 5. كما لاحظت، يوجد رقم واحد فقط مرفوع للقوة، وهو 32، وهو ما يساوي 9، نحن عوّض بهذه النتيجة بدلاً من الرقم 32 لإيجاد النتيجة 2x + 4 (7) + 9 – 5.

4. 4 حل المشاكل في العبارة. الآن احسب أي مسائل ضرب في التعبير. تذكر أنه يمكن كتابة الضرب بأشكال مختلفة، مثل x أو dot أو star، وأيضًا عندما يكون الرقم مرتبطًا بأقواس أو متغير (مثل 4 (x))، فهذا يعني أن هناك عملية ضرب بينها .

   • هناك حالتان من حالات الضرب في مشكلتنا، 2x (2x تساوي 2 xx) و 4 (7). سنترك 2x بمفرده لأننا لا نعرف قيمة x لكي نضربها في 2، لكن 4 (7) = 4 x 7 = 28. إذا أعدنا كتابة المسألة بعد هذه الخطوة، فستصبح 2x + 28 + 9-5.

5. 5 اذهب إلى. تذكر عندما تبحث عن أقسام في المسألة، مثل الضرب، يمكن كتابتها بطرق مختلفة، واحدة بسيطة مثل الرمز المعروف ÷، ولكن تذكر أيضًا أن الخطوط القطرية أو الأفقية في الكسور (مثل 3 / 4) تدل على القسمة.

   • نظرًا لأننا حللنا مشكلة القسمة (4/2) عندما أجرينا العمليات بين قوسين، فلا توجد مشاكل قسمة أخرى متبقية في مثالنا، ولهذا السبب سوف نتخطى هذا الجزء، مما يجعلنا نذكر نقطة مهمة جدًا لست ملزمًا بإجراء جميع العمليات الحسابية التي ذكرناها في الخطوات الأولى أثناء قيامك بعملية تبسيط المشكلة، ولكن فقط العمليات في المشكلة.

6. 6 جمع. الآن احسب أي مسألة جمع في التعبير. يمكنك القيام بمسائل الجمع بالترتيب من اليمين إلى اليسار، ولكن قد تجد أنه من الأسهل البدء بإضافة أرقام يسهل جمعها معًا. على سبيل المثال في العبارة 49 + 29 + 51 +71، من الأسهل إضافة 49 + 51 = 100، و 29 + 71 = 100، و 100 + 100 = 200، بدلاً من الجمع بالترتيب 49 + 29 = 78، و 78 + 51 = 129، و 129 + 71 = 200.

   • لقد بسطنا التعبير السابق جزئيًا إلى “2x + 28 + 9 – 5”. يجب أن نجمع الآن ما يمكننا جمعه ؛ دعونا نلقي نظرة على جميع مشاكل الجمع من البداية إلى النهاية. لا يمكننا إضافة 2x إلى 28 لأننا لا نعرف قيمة x، لذلك نتخطى هذا الجزء. 28 + 9 = 37. فنكتب التعبير في صورته الجديدة “2x + 37-5”.

7. 7. لقد وصلنا إلى الخطوة الأخيرة بترتيب العمليات الحسابية (الأقواس – الأسس – الضرب – القسمة – الجمع – الطرح). قم بإجراء العمليات في السؤال لحل عملية الطرح التي تصادفها من خلالها. يمكنك التعامل مع الأرقام السالبة في هذه الخطوة كما لو كنت تجمعها أو في الخطوة في مسائل الجمع العادية، ولن تغير النتيجة.

   • في العبارة “2x + 37-5” توجد مشكلة طرح واحدة فقط، وهي 37-5 = 32.

8. 8 انظر البيان. يجب أن تجدها الآن في أبسط أشكالها طالما أنك عملت عليها بالترتيب، ولكن إذا كانت العبارة تحتوي على متغير واحد أو أكثر، فاعلم أن هذه المصطلحات المتغيرة ستبقى كما هي إلى حد كبير. يتطلب تبسيط التعبيرات المتغيرة أن نجد أولاً قيمة كل متغير أو نستخدم طرقًا خاصة معه بخلاف الطرق المذكورة حتى الآن لتبسيط التعبيرات (انظر الجزء الثاني من المقالة).

   • الإجابة النهائية هي “2x + 32”. لا يمكننا حل مشكلة الجمع الأخيرة هذه حتى نعرف قيمة x، ولكن عندما نفعل ذلك، سيكون حل هذه العبارة أسهل بكثير من الجملة الطويلة التي بدأنا بها.

بسّط التعابير المعقدة

1. 1 اجمع مصطلحات المتغيرات المتطابقة. عند التعامل مع التعبيرات التي تحتوي على متغيرات، من المهم أن تتذكر أن المصطلحات المكونة من نفس المتغير والأس (المصطلحات المتماثلة) يمكن إضافتها وطرحها تمامًا مثل الأرقام العادية. لا يجب أن تتكون المصطلحات المتماثلة فقط من نفس الأحرف (المتغيرات)، ولكن يجب أن تحتوي هذه المتغيرات أيضًا على نفس الأسس. مثال يمكن إضافة 7x و 5x، لكن لا يمكن إضافة 7x إلى 5×2.

   • تمتد هذه القاعدة إلى المصطلحات متعددة المتغيرات أيضًا، على سبيل المثال يمكن إضافة 2h2 إلى -3h2، لكن لا يمكن إضافتها إلى -3h2 أو -3h2.
   • لنلقِ نظرة على التعبير x2 + 3x + 6-8x، يمكننا إضافة المصطلحين 3x و -8x في هذا التعبير لأنهما متماثلان. يصبح التعبير بعد التبسيط بإضافة المتغيرات المقابلة x2 – 5x + 6.

2. 2 بسّط الكسور العددية من خلال القسمة أو “طرح” العوامل المشتركة. يمكن تبسيط الكسور المكونة من أرقام فقط (لا تحتوي على متغيرات) في كل من البسط والمقام بأكثر من طريقة. الطريقة الأولى – وربما الأسهل – هي التعامل مع البسط والمقام كمسألة قسمة ثم قسمة البسط على المقام. من الممكن أيضًا حذف أي عوامل متكررة في كل من البسط والمقام، وذلك لأن حاصل القسمة (قسمة أي رقم على نفسه) يساوي 1. باختصار أي عامل مشترك بين البسط والمقام يمكن حذفها من الكسر لجعل الكسر في صورة أبسط.

   • مثال لنلق نظرة على الكسر 36/60. إذا قسمنا هذين العددين باستخدام الآلة الحاسبة، فسنحصل على 0.6. لكن من الممكن أيضًا تبسيط هذا الكسر بدون آلة حاسبة باستخدام العوامل المشتركة وطريقة الحذف، لذا يمكننا تحويل الكسر 36/60 إلى (6 × 6) / (6 × 10). يمكن كتابة هذا في شكل آخر وهو 6/10. 6/6 = 1، ما يعني أن هذا الكسر هو نفسه 1 × 6/10 = 6/10. لكننا لم ننتهي بعد، لأن 6 و 10 لديهما عامل مشترك هو 2، وعندما نحذفه باستخدام الطريقة السابقة، يتبقى لنا 3/5.

3. 3 يستبعد المتغيرات المشتركة في كسور المتغيرات. توفر تعبيرات المتغيرات المنطقية فرصة فريدة للتبسيط، لأنها تسمح بحذف العوامل المشتركة في البسط والمقام تمامًا مثل الكسور العادية. من الممكن أيضًا في حالات المتغيرات الكسرية إيجاد عوامل مشتركة لكلا النوعين العوامل العددية والتعبيرات المتغيرة.

   • ضع في اعتبارك التعبير (3×2 + 3x) / (- 3×2 + 15x). يمكن كتابة هذا الكسر في شكل آخر، وهو (x + 1) (3x) / (3x) (5 – x)، 3x يتكرر في البسط والمقام، وعند إزالته من المسألة، يبقى الكسر (x) + 1) / (5 – س). أيضًا في التعبير (2×2 + 4x + 6) / 2، نظرًا لأن جميع الحدود قابلة للقسمة على 2، يمكننا إعادة كتابة التعبير كما يلي (2 (x2 + 2x + 3)) / 2 وبالتالي تبسيطه إلى x2 + 2x + 3 .
   • لاحظ أنه ليس من الممكن إلغاء أي مصطلح تعسفي، فقط عوامل القسمة المشتركة الموضحة في كل من البسط والمقام. مثال في العبارة (x (x + 2)) / x، تمت إزالة “x” من البسط والمقام، وترك (x + 2) / 1 = (x + 2). لكن (x + 2) / x لا يمكن إلغاؤها، والبيان المتبقي إذا حذفناه 2/1 = 2 غير صحيح.

4. 4 اضرب حدود الأقواس في الثوابت العددية المجاورة لها. في بعض الأحيان، يؤدي ضرب كل حد من الأقواس في الثابت المجاور له إلى تعبير أبسط عندما تكون الحدود داخل الأقواس متغيرات. هذا صحيح بالنسبة للثوابت المكونة من أرقام فقط والثوابت العددية ذات المتغيرات.

   • مثال يمكن تبسيط العبارة 3 (x2 + 8) إلى 3×2 + 24، وتبسيط 3x (x2 + 8) إلى 3×3 + 24x.
   • لاحظ أنه في بعض كسور المتغيرات، تمثل الثوابت بجوار الأقواس فرصة للحذف، وبالتالي لا ينبغي توزيعها بضرب الحدود بين الأقواس. على سبيل المثال، في الكسر (3 (x2 + 8)) / 3x، يتكرر العامل 3 في البسط والمقام، لذلك يمكن حذفه وتبسيط التعبير إلى (x2 + 8) / x. هذه النتيجة أبسط وأسهل في الحل من (3×3 + 24x) / 3x، وهي النتيجة التي كنا سنحصل عليها إذا وزعنا ما هو خارج الأقواس على ما بداخلها باستخدام الضرب.

5. 5 بسّط من خلال. التحليل هو طريقة لتبسيط بعض التعبيرات المتغيرة، بما في ذلك كثيرات الحدود. فكر في التحليل كعامل معاكس لـ “التوزيع بين الأقواس بالضرب” في الخطوة السابقة ؛ يمكن أحيانًا حساب التعبير بطريقة أبسط إذا تم التعامل معه كمصطلحات مضروبة، وليس كتعبير موحد. هذا صحيح بشكل خاص إذا كان تحليل الرقم يسمح بحذف جزء من التعبير (كما نفعل مع الكسور). أيضًا، في بعض الحالات الخاصة (غالبًا حالات المعادلات التربيعية)، يسمح التحليل بالعثور على حاصل ضرب المعادلة.

   • لنلق نظرة على التعبير x2 – 5x + 6 مرة أخرى. يمكن تحليل هذا التعبير في (x – 3) (x – 2). وهكذا إذا كانت x2 – 5x + 6 هي بسط التعبير المنطقي الذي يكون مقامه أحد هذه المصطلحات التي تمثل العوامل، كما نرى في التعبير (x2 – 5x + 6) / (2 (x – 2))، فإنه قد يكون من الأفضل كتابتها في صورة عوامل إلى عوامل حتى نتمكن من إلغاء أحد العوامل ذات المقام. المعنى في (x – 3) (x – 2) / (2 (x – 2))، يتم حذف المصطلح (x – 2) من كلا جانبي الكسر، مع ترك (x – 3) / 2.
   • كما ذكرنا سابقًا، هناك سبب آخر لتحليل تعبير وهو إذا كنت تحاول العثور على إجابة لمعادلة، خاصةً عندما تتم كتابة هذه المعادلة كتعبير يساوي 0. مثال دعنا ننظر إلى التعبير x2 – 5x + 6 = 0 نتج عن التحليل في (x – 3) (x – 2) = 0. بما أن أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا، فإننا نستنتج أن جعل أي من هذين الحدين يساوي صفرًا يجعل الجانب بأكمله من المعادلة صفرًا. إذن 3 و 2 نتاج المعادلة.