كيفية تحليل المعادلات الجبرية

تتمثل عملية تحليل المعامل في الرياضيات في إيجاد أرقام أو مقادير جبرية يتم ضربها معًا لإيجاد الرقم أو المعادلة المحددة. التحليل مهارة مفيدة لتعلم الغرض من حل مسائل الجبر الأساسية ؛ تصبح القدرة على التحليل بكفاءة أمرًا ضروريًا عند التعامل مع المعادلات التربيعية والأشكال الأخرى من مشاكل كثيرة الحدود. يمكن استخدام تحليل العوامل لتسهيل التعبيرات الجبرية من أجل إيجاد الحل بطريقة أسهل. يمكنك أيضًا التحليل إلى عوامل لاستبعاد بعض الإجابات المحتملة بشكل أسرع مما تفعل يدويًا.

خطوات

تحليل الأرقام والتعبيرات الجبرية الأساسية

1. 1 فهم تعريف التحليل كما ينطبق على الأرقام. التحليل سهل كمفهوم مجرد، ولكن يمكن أن يصبح أكثر صعوبة أثناء التنفيذ في معادلات معقدة. لذلك من الأسهل التعامل مع مفهوم التحليل بالبدء بأرقام بسيطة ثم الانتقال إلى المعادلات البسيطة قبل الانتقال أخيرًا إلى تطبيقات أكثر تعقيدًا. معاملات الأعداد المحددة هي الأرقام التي يتم ضربها لإيجاد الرقم. على سبيل المثال، معاملات الرقم 12 هي 1 و 12 و 2 و 6 و 3 و 4. لأن 1 × 12 و 2 × 6 و 3 × 4 كلها تساوي 12.

   • طريقة أخرى للتفكير في الأمر هي أن معاملات الرقم هي الأرقام التي يمكن القسمة عليها والنتيجة هي عدد صحيح.
   • هل يمكنك إيجاد جميع معاملات الرقم 60 نستخدم الرقم 60 للعديد من الأغراض المختلفة (عدد الدقائق في الساعة، وعدد الثواني في الدقيقة، وما إلى ذلك) لأنه رقم قابل للقسمة على العديد من الأرقام والنتيجة هي عدد صحيح.
     • معاملات الرقم 60 هي 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30، 60.

2. 2 افهم أنه يمكن أيضًا تحليل المقادير المتغيرة إلى عوامل. تمامًا مثل الأرقام، يمكن إجراء تحليل العوامل للمتغيرات ذات المعاملات الرقمية. للقيام بذلك، أوجد معاملات المتغيرات. تساعدك معرفة كيفية إجراء تحليل العوامل المتغيرة على تبسيط المعادلات الجبرية التي تعد هذه المتغيرات جزءًا منها.

   • على سبيل المثال، يمكن كتابة المتغير 12x على أنه حاصل ضرب المعاملين 12 و x. يمكننا كتابة 12x بالصيغ التالية (4x) 3 أو (6x) 2 … إلخ، باستخدام أنسب المعاملات 12 للوصول إلى هدفنا.
     • يمكننا حتى المضي قدمًا طالما أننا نحتاج إلى تحليل 12x بأكبر عدد ممكن من المرات. بمعنى آخر، لا يتعين علينا التوقف عند (4x) 3 أو (6x) 2 ولكن يمكننا تحليل 4x و 6x لإعطاء (2x) 3 (2) و (2x) 2 (3) على التوالي. من الواضح أن هذين التعبيرين متساويان.

3. 3 طبق خاصية التوزيع على الضرب لتحليل المعادلات الجبرية. استخدم معرفتك بكيفية تحليل كل من الأعداد الطبيعية والمتغيرات باستخدام المعاملات. يمكنك تبسيط المعادلات الجبرية البسيطة بإيجاد المعاملات التي تشترك فيها الأرقام والمتغيرات في المعادلة. لتبسيط المعادلة قدر الإمكان، نحاول عادةً إيجاد العامل المشترك الأكبر. التبسيط ممكن بسبب خاصية التوزيع الخاصة بالضرب، والتي تنص على أنه لأي عدد أ، ب، كاليفورنيا (ب + ج) = أب + ج.

   • لنجربها بمثال. لإخراج المعادلة الجبرية 12x + 6 إلى عوامل، سنحاول أولاً إيجاد العامل المشترك الأكبر 12x و 6. 6 هو أكبر عدد يمكن تقسيمه على كل من 12x و 6 وهو عدد صحيح، لذا يمكننا تبسيط معادلة (2x + 1) 6.
   • تنطبق هذه العملية على المعادلات ذات العلامة السالبة والكسور. على سبيل المثال، يمكن تبسيط المعادلة x / 2 + 4 إلى (x + 8) 1/2، ويمكن تبسيط المعادلة 7x + -21- إلى – (x + 3) 7.

تحليل المعادلات التربيعية

1. 1 تأكد من أن المعادلة بالصيغة التربيعية (ax2 + bx + c = 0). تكون المعادلات التربيعية في الشكل ax2 + bx + c = 0، حيث a و b و c ثوابت رقمية و a لا يساوي 0 (لاحظ أن a يمكن أن يكون 1 أو -1). إذا كانت لديك معادلة تحتوي على متغير واحد (x) مع أكثر من مصطلح تربيعي x، فيمكنك تحريك المصطلحات في المعادلة باستخدام عمليات جبرية بسيطة للحصول على 0 في جانب واحد و ax2 … إلخ في الجانب الآخر.

   • على سبيل المثال، لنفكر في معادلة جبرية. 5×2 + 7x – 9 = 4×2 + x – 18 حيث يمكن تبسيطها إلى x2 + 6x + 9 = 0، وهي صورة من المعادلة التربيعية.
   • المعادلات التي تحتوي على x بقوة أعلى مثل x3، x4 … إلخ، لا يمكن أن تكون معادلات من الدرجة الثانية. إنها معادلات تكعيبية، معادلات من الدرجة الرابعة، ما لم نتمكن من تبسيط المعادلة بحذف الحدود ذات القوى الأكبر من 2.

2. 2 بالنسبة للمعادلات التربيعية حيث a = 1، حللها في (x + d) (x + e) ​​، حيث dxe = c و d + e = b. إذا كانت المعادلة التربيعية بالصيغة x2 + bx + c = 0 (أي إذا كان معامل المصطلح x2 = 1)، فمن الممكن (ولكن غير مؤكد) أنه يمكن استخدام اختصار بسيط لتحليل المعادلة. أوجد العددين اللذين يمكن ضربهما معًا للحصول على c وجمعهما معًا للحصول على b. بمجرد حصولك على هذين الرقمين d و e، ضعهما في التعبير التالي (x + d) (x + e). عندما يتم ضرب هذين المصطلحين ببعضهما البعض، يتم إنتاج المعادلة التربيعية، أي أنها معاملات المعادلة التربيعية.

   • على سبيل المثال، لنفكر في المعادلة التربيعية x2 + 5x + 6 = 0. يمكن ضرب 3 و 2 معًا للحصول على الرقم 6 وإضافتهما معًا للحصول على الرقم 5 حتى نتمكن من تبسيط المعادلة إلى (x + 3) ( × + 2).
   • هناك بعض الاختلافات الطفيفة في الاختصار بسبب بعض الاختلافات الطفيفة في المعادلة نفسها
     • إذا كانت المعادلة التربيعية بالصيغة x2-bx + c، يكون الحل بالصيغة (x – _) (x – _).
     • إذا كانت المعادلة التربيعية بالصيغة x2 + bx + c، يكون الحل بالصيغة (x + _) (x + _).
     • إذا كانت المعادلة التربيعية بالصيغة x2-bx-c، يكون الحل بالصيغة (x + _) (x – _).
   • ملاحظة يمكن أن تكون الأرقام الموجودة في الفراغات كسورًا أو كسورًا عشرية. على سبيل المثال، يمكن تحليل المعادلة x2 + (21/2) x + 5 = 0 إلى (x + 10) (x + 1/2).

3. 3 إذا أمكن، قم بالتحليل عن طريق التجربة. صدق أو لا تصدق، بالنسبة للمعادلات التربيعية غير المعقدة، فإن طريقة التحليل المقبولة هي فحص المشكلة، ثم مجرد تجربة الحلول الممكنة حتى تجد الحل الصحيح. تُعرف هذه الطريقة أيضًا بالتجربة. إذا كانت المعادلة في الشكل ax2 + bx + c و a> 1، فسيكون تحليل المعادلة بالشكل (dx +/- _) (ex +/- _)، حيث d و e غير 0 الثوابت الرقمية التي يمكن ضربها للحصول على قيمة a. يمكن أن تساوي d أو e أو كليهما 1، لكنها ليست حتمية. إذا كان كلاهما 0. لقد استخدمت الاختصار الموضح أعلاه.

   • لنجرب مشكلة كمثال. 3×2 – 8x + 4 تبدو هذه المعادلة محيرة في البداية. لكن بمجرد أن تلاحظ أن الرقم 3 يحتوي على معاملين (1، 3)، يصبح الأمر أسهل لأننا نعلم أن الإجابة يجب أن تكون بالصيغة (3x +/- _) (x +/- _). في هذه الحالة، فإن إضافة -2 إلى المساحات الفارغة سيعطي الإجابة الصحيحة. 2- x 3x = -6x و2- xx = -2x. بإضافة -6x و -2x إلى -8x ثم -2 x -2 = 4، لذلك يمكننا أن نرى أن الحدود المحللة في الأقواس يمكن ضربها للحصول على المعادلة الأصلية.

4. 4 حل بتوحيد المربع. في بعض الحالات، يمكن تحليل المعادلات التربيعية بسرعة باستخدام طريقة جبرية خاصة. أي معادلة تربيعية بالصيغة x2 + 2xh + h2 = (x + h) 2. لذا، إذا كانت قيمة b في المعادلة ضعف الجذر التربيعي لقيمة c، فيمكن تحليل المعادلة في الصورة (x + (sqrt (c))) 2.

   • على سبيل المثال، المعادلة x2 + 6x + 9 تتناسب مع هذه الصورة. بينما. 32 هي 9 و 3 × 2 تساوي 6. لذا فنحن نعلم أن صيغة المعادلة بعد التحليل إلى العوامل هي (x + 3) (x + 3) أو (x + 3) 2.

5. 5 استخدم المعاملات لحل المعادلات التربيعية. بغض النظر، بمجرد أن تحلل المعادلة التربيعية في أي طريقة، يمكنك إيجاد الحلول لقيم x عن طريق تعيين كل معامل يساوي صفرًا والحل. تريد قيم x التي تجعل المعادلة تساوي صفرًا، وقيمة x التي تجعل أحد معاملاتك يساوي صفرًا هو حل ممكن للمعادلة التربيعية.

   • بالعودة إلى المعادلة x2 + 5x + 6 = 0. يمكن تحليل هذه المعادلة إلى (x + 3) (x + 2) = 0. إذا كان أي من المعاملات يساوي 0، فستكون المعادلة بأكملها تساوي 0. لذا الحلول الممكنة لقيمة x هي الأرقام التي تجعل (x + 3) و (x + 2) تساوي الصفر. هذه الأرقام هي 3 و 2 على التوالي. .

6. 6 تحقق من إجاباتك، قد تكون بعض الإجابات غريبة! عندما يكون هناك حلول ممكنة لـ x، عوض بها في المعادلة الأصلية لترى ما إذا كانت الحلول صحيحة. في بعض الأحيان، عندما تقوم بتوصيل الحلول التي وجدت أنها لا تساوي 0. تعتبر هذه الإجابات غير صحيحة ويتم تجاهلها.

   • دعنا نستبدل قيم -2 و -3 في المعادلة x2 + 5x + 6 = 0. لنبدأ بـ -2
     • (2-) 2 + 5 (-2) + 6 = 0
     • 4 + 10- + 6 = 0
     • 0 = 0. هذا صحيح، مما يعني أن -2 حل صالح.
   • لنجرب الآن 3-
     • (3-) 2 + 5 (-3) + 6 = 0
     • 9 + 15- + 6 = 0
     • 0 = 0. هذا صحيح أيضًا. وهذا يعني أن -3 يعد أيضًا حلًا صالحًا.

تحليل الصور الأخرى للمعادلات

1. 1 إذا كانت المعادلة بالصيغة a2-b2، عاملها في (a + b) (ab). تختلف المعادلات ذات معامل متغيرين عن المعادلات التربيعية التقليدية. بالنسبة لأي معادلة بالصيغة a2-b2 حيث يكون كل من a و b غير صفري، يتم حل المعادلة إلى (a + b) (ab).

   • على سبيل المثال، المعادلة 9×2 – 4y2 = (3x + 2y) (3x – 2y).

2. 2 إذا كانت المعادلة بالصيغة a2 + 2ab + b2، عاملها في (a + b) 2. لاحظ أنه إذا كانت المعادلة ثلاثية الحدود بصيغة a2-2ab + b2، فإن شكلها العامل يختلف قليلاً (ab) 2.

   • يمكن إعادة كتابة المعادلة 4×2 + 8xy + 4y2 كـ 4×2 + (2 x 2 x 2) xy + 4y2. يمكننا الآن أن نرى أنها في الشكل الصحيح لذا يمكننا القول بكل ثقة أنه يمكن تحليل المعادلة إلى عوامل (2x + 2y) 2

3. 3 إذا كانت المعادلة بالصيغة a3-b3، فحللها إلى (ab) (a2 + ab + b2). أخيرًا، يبقى أن نذكر أنه حتى المعادلات التكعيبية يمكن تحليلها إلى أعلى درجة، على الرغم من أن عملية التحليل تصبح أكثر تعقيدًا.

   • على سبيل المثال، يمكن تحليل المعادلة 8×3 – 27y3 إلى (2x – 3y) (4×2 + ((2x) (3y)) + 9y2)

أفكار مفيدة

• المعادلة بالصيغة a2-b2 قابلة للتحليل، بينما المعادلة بالصيغة a2 + b2 ليست كذلك.
• تذكر كيفية تحليل الثوابت. ممكن أن تساعد.
• انتبه للكسور في عملية التحليل وقم بتحليلها بعناية وبعناية.
• إذا كانت لديك معادلة ثلاثية الحدود بالصيغة x2 + bx + (b / 2) 2، يتم حلها بالصيغة (x + (b / 2)) 2. (قد تواجه هذا الموقف أثناء توحيد الأس.)
• تذكر أن a0 = 0 (خاصية الضرب في صفر).

الأشياء التي سوف تحتاجها

• ورق

• قلم

• كتاب الرياضيات (إذا لزم الأمر)