كيفية تحليل المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثالثة

موضوع هذه المقالة هو كيفية تحليل المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثالثة. سنتحدث عن العوملة والعوملة بعوامل حد ثابتة.

خطوات

التحليل باستخدام العوامل المشتركة

1. 1 افصل معادلة كثيرة الحدود إلى قسمين. سيمكنك فصل المعادلة بهذه الطريقة من حل كل جزء على حدة.

   • لنفترض أن المعادلة التي سنعمل عليها هي x 3 + 3x 2 – 6x – 18. يمكن تقسيم هذه المعادلة إلى (x 3 + 3x 2) و (-6x – 18).

2. 2 أوجد العوامل المشتركة في كل جزء.

   • بالنظر إلى (x3 + 3×2)، نرى أن x2 عامل مشترك.
   • بالنظر إلى (-6x-18) نجد أن -6 عامل مشترك.

3. 3 استخرج العامل المشترك من الجزأين.

   • باستخراج العامل المشترك x 2 من الجزء الأول، نحصل على x 2 (x + 3).
   • باستخراج العامل المشترك -6 من الجزء الثاني، نحصل على -6 (x + 3).

4. 4 إذا وجدت أن الجزأين يحتويان على نفس العامل، فيمكنك جمع العوامل.

   • إذن، نحصل على (x + 3) (x 2-6).

5. 5 يمكنك إيجاد حل للمعادلة بالنظر إلى جذورها. لا تنس أن الحل يمكن أن يكون موجبًا وسالبًا إذا وجدت x2 في جذور المعادلة.

   • الحلول هي -3 و 6 درجات و 6 درجات.

التحليل باستخدام عوامل حد ثابتة

1. 1 أعد ترتيب المعادلة كـ ax 3 + bx 2 + cx + d.

   • افترض أن المعادلة التي سنعمل عليها هي x 3 – 4x 2 – 7x + 10 = 0.

2. 2 أوجد كل عوامل “د”. المصطلح الثابت “d” هو المصطلح الذي لن تجد بعده متغيرًا مثل “x”.

   • العوامل هي أرقام يمكن ضربها للحصول على رقم آخر. في هذه الحالة، نجد أن عوامل الرقم 10، وهو ما يعادل المصطلح “d” في المعادلة، هي 1 و 2 و 5 و 10.

3. 3 من هذه العوامل، ابحث عن العامل الذي يجعل المعادلة تؤدي إلى الصفر. الهدف الآن هو إيجاد العامل الذي إذا عوضنا بقيمته في كل “x” في المعادلة، تصبح النتيجة صفرًا.

   • ابدأ بالعامل الأول “1”. استبدال “1” مكان كل “x” في المعادلة
     (1) 3-4 (1) 2-7 (1) + 10 = 0
   • تصبح النتيجة 1 – 4 – 7 + 10 = 0.
   • وبما أن 0 = 0 عبارة صحيحة، فإن x = 1 هو أحد حلول المعادلة.

4. 4 أعد ترتيب النتيجة. إذا كانت x = 1، يمكنك إعادة ترتيب هذه العبارة بحيث تبدو مختلفة دون تغيير معناها.

   • “x = 1” تساوي “x – 1 = 0” أو (x – 1). لا شيء يتغير باستثناء طرح 1 من طرفي المعادلة.

5. 5 استخرج العامل المشترك من باقي المعادلة. حاول استخراج الجذر، وهو “(x-1)” في هذه الحالة، من بقية المعادلة. يمكنك القيام بذلك مع كل واحد على حدة.

   • هل يمكنك استخراج العامل (x – 1) من x 3 لا يمكنك ذلك، لكن يمكنك استعارة – x 2 من المتغير الثاني في المعادلة، وبعد ذلك يمكنك تحليل العوامل التالية x 2 (x – 1) = x 3 – x 2.
   • هل يمكنك استخراج العامل (x – 1) من باقي المتغير الثاني لا يمكنك ذلك أيضًا. سيتعين عليك استعارة جزء من المتغير الثالث في المعادلة. عليك أن تقترض 3 ساعات من -7h. من ذلك تحصل على -3x (x – 1) = -3×2 + 3x.
   • بما أنك اقترضت 3x من -7 س، فإن قيمة المتغير الثالث الآن هي -10x وقيمة الثابت هي 10. هل يمكنك استخلاص عامل مشترك نعم تستطيع! -10 (س – 1) = -10 س + 10.
   • ما حدث هنا هو مجرد إعادة ترتيب للمتغيرات بحيث يمكننا استخلاص (x – 1) كعامل مشترك من المعادلة بأكملها. بعد إعادة ترتيب المعادلة، تبدو كالتالي x 3 – x 2 – 3x 2 + 3x – 10x + 10 = 0، لكنها لا تزال تطابق المعادلة x 3 – 4x 2 – 7x + 10 = 0.

6. 6 واصل التعويض بقيم عوامل الحد الثابت. انظر إلى القيم التي استخرجتها في الخطوة الخامسة باستخدام (س – 1)

   • x2 (x – 1) – 3x (x – 1) – 10 (x – 1) = 0. يمكنك إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث يمكنك تحليلها مرة أخرى (x – 1) (x 2 – 3x – 10).
   • هنا، نحاول تحليل (x2 – 3x – 10) فقط. يمكننا تقسيم هذا الجزء إلى (س + 2) (س – 5).

7. 7 الجذور التي حصلت عليها من التحليل هي حلول المعادلة. يمكنك التحقق من صحة هذه الحلول عن طريق استبدال كل منها على حدة في المعادلة الأصلية.

   • يمكن استنتاج الحلول 1 و -2 و 5 من المعادلة (س – 1) (س + 2) (س + 5).
   • بالتعويض عن -2 في المعادلة الأصلية، نحصل على (-2) 3 – 4 (-2) 2 – 7 (-2) + 10 = -8 – 16 + 14 + 10 = 0.
   • بالتعويض عن 5 في المعادلة الأصلية، نحصل على (5) 3 – 4 (5) 2 – 7 (5) + 10 = 125 – 100 – 35 + 10 = 0.

أفكار مفيدة

• لا توجد كثيرات حدود من الدرجة الثالثة لا يمكن حلها على مقياس العدد الحقيقي، لأن كل مكعب يجب أن يكون له جذر حقيقي. المعادلات التكعيبية التي لها جذر حقيقي غير منطقي مثل x3 + x + 1 لا يمكن تحليلها إلى عوامل متعددة الحدود مع عدد صحيح أو معاملات منطقية. حتى إذا كان من الممكن تحليل هذه المعادلات بواسطة قانون المعادلات التكعيبية، فلا يمكن تبسيطها إلى كثيرات حدود “عدد صحيح”.
• المعادلة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة هي نتاج ثلاث معادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى أو ناتج معادلة واحدة من الدرجة الأولى وكثير حدود أخرى من الدرجة الثانية لا يمكن تحليلها. في هذه الحالة، بعد الحصول على كثير الحدود من الدرجة الأولى، يمكنك استخدام القسمة المطولة للحصول على كثير الحدود من الدرجة الثانية.