كيفية حل معادلة تكعيبية

عندما تواجه معادلة تكعيبية لأول مرة (والتي تأخذ الشكل ax3 + bx2 + cx + d = 0)، فقد يبدو حلها أكثر أو أقل صعوبة. ومع ذلك، فإن طريقة حل المعادلات التكعيبية معروفة منذ قرون، عندما تم اكتشافها في القرن الخامس عشر الميلادي من قبل عالم الرياضيات الإيطاليين “نيكولو تارتاليا” و “جيرولامو كاردانو”. تعد طريقة حل المعادلات التكعيبية من أولى الصيغ التي لم يعرفها الإغريق والرومان القدماء. قد يكون حل المعادلات التكعيبية أمرًا صعبًا نسبيًا، ولكن بفضل الطريقة المناسبة (والمعرفة الأساسية الكافية) يمكن حل أصعب المعادلات.

خطوات

حل باستخدام الصيغة التربيعية

1. 1 تحقق مما إذا كانت المعادلة التكعيبية تحتوي على ثابت. كما أشرت أعلاه، تأخذ المعادلات التكعيبية الشكل ax3 + bx2 + cx + d = 0. يمكن أن تكون b و c و b صفرًا دون التأثير على ما إذا كانت المعادلة تربيعية أم لا، مما يعني أنه لا يلزم احتواء المعادلة التكعيبية جميع المصطلحات bx2 أو cx أو d هي تكعيبية. لنبدأ بالطريقة الأسهل نسبيًا لحل المعادلات التكعيبية، تحقق لمعرفة ما إذا كان هناك ثابت في المعادلة التكعيبية التي تحلها (أي قيمة d). إذا لم يكن لها ثابت، يمكنك استخدام طريقة حل المعادلة التربيعية لإيجاد حلول المعادلة عن طريق القيام ببعض الخطوات الحسابية البسيطة.

   • إذا حدث العكس واحتوت المعادلة على ثابت، فستحتاج إلى استخدام طريقة أخرى لحلها. انظر الطرق البديلة أدناه.

2. 2 خذ x كعامل مشترك في المعادلة. نظرًا لأن المعادلة لا تحتوي على ثابت، فإن جميع شروط المعادلة لها متغير x. مما يعني أنه يمكن اعتبار x عاملاً مشتركًا في المعادلة وتبسيطه. افعل ذلك واكتب المعادلة بالصيغة x (ax2 + bx + c).

   • لنفترض، على سبيل المثال، أن المعادلة التكعيبية في البداية هي 3×3 + -2×2 + 14x = 0. إذا أخذنا x كعامل مشترك، نحصل على x (3×2 + -2x + 14) = 0.

3. 3 استخدم الصيغة التربيعية لإيجاد الجزء الموجود داخل الأقواس. ربما لاحظت أن الجزء الموجود داخل الأقواس في المعادلة الجديدة يشبه صورة المعادلة التربيعية (ax2 + bx + c). مما يعني أنه يمكننا إيجاد القيم التي تساوي عندها هذه المعادلة التربيعية صفرًا بإدخال a و b و c في الصيغة التربيعية ({-b +/- √ (b2- 4ac)} / 2a). افعل ذلك لإيجاد حلين للمعادلة التكعيبية.

   • في مثالنا، سندخل قيم a و b و c (3، 2، 14 على التوالي) في المعادلة التربيعية على النحو التالي {-b +/- √ (b2- 4ac)} / 2a {- (-2) +/- √ ((-2) 2- 4 (3) (14))} / 2 (3) {2 +/- √ (4 – (12) (14))} / 6 {2 +/- √ (4 – (168)} / 6 {2 +/- √ (-164)} / 6
   • الحل الأول {2 + √ (-164)} / 6 {2 + 12.8i} / 6
   • الحل الثاني {2 – 12.8i} / 6

4. 4 استخدم الصفر وحلول المعادلة التربيعية كحلول للمعادلة التكعيبية. في حين أن للمعادلة التربيعية حلين، فإن للمعادلة التكعيبية ثلاثة حلول. لديك بالفعل اثنان من الحلول الثلاثة، وهما نتيجة جزء المعادلة التربيعية داخل الأقواس. إذا كانت معادلتك قابلة للتطبيق على طريقة حل العامل المشترك، فسيكون الحل الثالث دائمًا هو 0. تهانينا! لقد حللت للتو معادلة تكعيبية.

   • يرجع سبب نجاح هذه الطريقة إلى الحقيقة الأساسية المتمثلة في أن أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا دائمًا. عندما تأخذ عاملاً مشتركًا من معادلة بالصيغة x (ax2 + bx + c) = 0، فإنك تقسم المعادلة إلى النصف النصف الأول هو المتغير x على اليسار والنصف الآخر هو جزء من التربيعية المعادلة داخل الأقواس. إذا كان أحد الجانبين صفرًا، فإن المعادلة بأكملها هي صفر. إذن، كلا الحلين للجزء التربيعي من الأقواس الذي يجعل ذلك الضلع يساوي صفرًا هما حلان للمعادلة التكعيبية، التي تساوي صفرًا أيضًا، مما يجعل النصف الأيسر يساوي صفرًا أيضًا.

إيجاد الحلول الصحيحة باستخدام قوائم العوامل

1. 1 تأكد من أن المعادلة التكعيبية المعطاة ثابتة. الطريقة الموضحة أعلاه مناسبة لأنك لن تحتاج إلى تعلم مهارات رياضية جديدة لحلها، لكنها لن تكون كافية دائمًا لمساعدتك في حل المعادلات التكعيبية. إذا كانت معادلتك بالصيغة ax3 + bx2 + cx + d = 0 والمصطلح d ليس صفراً، فلن تنجح خدعة العامل المشترك، لذلك ستحتاج إلى استخدام إحدى الطريقتين في هذا القسم و التالي.

   • لنفترض، على سبيل المثال، أن المعادلة المعطاة هي 2×3 + 9×2 + 13x = -6. في هذه الحالة، يتطلب وضع صفر على الجانب الأيمن من إشارة التساوي أن نضيف 6 إلى كلا الطرفين. في المعادلة الجديدة، 2×3 + 9×2 + 13x + 6 = 0، d = 6، لذلك لا يمكننا استخدام خدعة العامل المشترك أعلاه.

2. 2 أوجد المعاملين a و d. لحل المعادلة التكعيبية، ابدأ بإيجاد معاملات a (معاملات الحد x3) و d (الثابت في نهاية المعادلة). كتذكير سريع، المعاملات هي أرقام يمكن ضربها للحصول على رقم آخر. على سبيل المثال، نظرًا لأنه يمكنك الحصول على 6 بضرب 6 × 1 و 2 × 3، فإن 1، 2، 3، 6 هي معاملات الرقم 6.

   • في مثالنا، a = 2 و d = 6. معاملات 2 هي 1 و 2 ومعاملات 6 هي 1، 2، 3، 6.

3. 3 اقسم معاملات a على معاملات d. ثم اكتب قائمة القيم التي ستحصل عليها بقسمة كل معامل a على معامل d. سينتج هذا عادة العديد من الكسور والأرقام الجديدة. الحلول الصحيحة للمعادلة التكعيبية هي أحد هذه الأرقام الجديدة، موجبة أو سالبة.

   • في المعادلة، بقسمة معاملات a (1، 2) على معاملات d (1، 2، 3، 6) نحصل على القائمة 1، 1/2، 1/3، 1/6، 2، 2 / 3. ثم نضيف السلبيات إلى تلك القائمة لإكمالها 1، -1، 1/2، -1/2، 1/3، -1/3، 1/6، -1/6، 2، -2، 2 / 3، – 2/3. حلول المعادلة التكعيبية الصحيحة موجودة في هذه القائمة.

4. 4 استخدم القسمة التركيبية أو اختبر الحلول يدويًا. بعد أن تقوم بعمل قائمة بالقيم. يمكنك إيجاد الحلول السليمة لمعادلة تكعيبية بوضع كل حل صحيح في المعادلة وإيجاد أيهما يساوي صفرًا. وإذا كنت لا تريد إضاعة الوقت، فهناك طريقة أسرع قليلاً تعتمد على طريقة القسمة التركيبية. أولاً، قسّم القيم الصحيحة صناعياً على معاملات a و b و c و d الأصلية في المعادلة التكعيبية. إذا كان الباقي صفرًا، فإن القيمة المدخلة هي أحد حلول المعادلة التكعيبية.

   • الانقسام التركيبي هو قضية معقدة. قم ببحث جيد لمزيد من المعلومات. فيما يلي مثال على كيفية إيجاد حل لمعادلة تكعيبية باستخدام القسمة التركيبية. -1 | 2 9 13 6 __ | -2-7-6 __ | 2 7 6 0 بما أن لدينا باقي 0، فإننا نعلم أن أحد حلول المعادلة التكعيبية الصحيحة هو -1.

استخدم الطريقة “المميزة”

1. 1 اكتب قيم a و b و c و d. سنحتاج إلى إيجاد حلول للمعادلة بهذه الطريقة، وسنتعامل بشكل كبير مع معاملات حدود المعادلة. لذا من الحكمة كتابة قيم a و b و c و d قبل أن تبدأ حتى لا تنسى أيًا منها.

   • على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة x3 – 3×2 + 3x – 1، سنكتب أ = 1، ب = -3، ج = 3، د = -1. لا تنس أنه عندما لا يحتوي المتغير x على معامل، نفترض أن معامله هو 1.

2. 2 احسب Δ0 = b2 – 3ac. تتطلب طريقة أداة التمييز لإيجاد حلول للمعادلات التكعيبية بعض العمليات الحسابية المعقدة، ولكن إذا اتبعت العملية بعناية، فستجد أنها طريقة ممتازة جدًا لإيجاد حلول للمعادلات التكعيبية التي يصعب حلها بالطرق الأخرى. للبدء، أوجد Δ0، وهي أول كميات مهمة سنحتاجها، عن طريق إدخال التعبير المناسب بصيغة b2 – 3ac.

   • في مثالنا، سنحل على النحو التالي b2 – 3ac (-3) 2-3 (1) (3) 9 – 3 (1) (3) 9-9 = 0 = Δ0

3. 3 احسب Δ1 = 2b3 – 9abc + 27a2d. القيمة الثانية المهمة التي سنحتاجها، 1، ستتطلب القليل من الجهد، لكنها في الأساس مماثلة لحساب 0. أدخل القيم المناسبة في الصيغة 2b3 – 9abc + 27a2d لحساب قيمة Δ1.

   • في مثالنا، سنحل على النحو التالي 2 (-3) 3-9 (1) (- 3) (3) + 27 (1) 2 (-1) 2 (-27) – 9 (-9) + 27 (-1) -54 + 81-27 81-81 = 0 = -1

4. 4 احسب Δ = Δ12-4Δ03) ÷ -27a2. بعد ذلك، سنحسب مميز المعادلة التكعيبية من قيم 0 و 1. المميّز هو ببساطة رقم يعطينا معلومات حول جذور كثير الحدود (ربما لاحظت دون وعي تمييز المعادلة التربيعية b2 – 4ac). في حالة المعادلة التكعيبية، إذا كان المميز موجبًا، فإن للمعادلة ثلاثة حلول حقيقية. إذا كان المميز صفرًا، فإن المعادلة لها حل أو حلان حقيقيان، وبعض هذه الحلول معقدة. إذا كان المميز سالبًا، فإن المعادلة لها حل واحد فقط. (تحتوي المعادلة التكعيبية على حل حقيقي واحد على الأقل، لأن المنحنى سيمر دائمًا المحور x مرة واحدة على الأقل.)

   • في مثالنا، نظرًا لأن كلا من 0 و 1 = 0، فإن إيجاد Δ سيكون أمرًا سهلاً للغاية، سنحل ببساطة على النحو التالي Δ12-4Δ03) ÷ -27a2 (0) 2-4 (0) 3) ÷ -27 (1) 2 0 – 0 ÷ 27 0 = Δ إذن للمعادلة حل أو حلين.

5. 5 احسب C = 3√ (√ ((12-4Δ03) + 1) / 2). آخر قيمة مهمة نحتاج إلى حسابها هي C. تتيح لنا هذه القيمة المهمة إيجاد الجذور الثلاثة. قم بحلها بشكل طبيعي، واستبدل 1 و 0 حسب حاجتك.

   • في مثالنا، سنجد قيمة C على النحو التالي 3√ (√ ((Δ12 – 4Δ03) + 1) / 2) 3√ (√ ((02-4 (0) 3) + (0)) / 2) 3√ (√ ((0 – 0) + (0)) / 2) 0 = ج

6. 6 احسب الجذور الثلاثة باستخدام المتغيرات. جذور (حلول) المعادلة التكعيبية المعطاة بالصيغة (b + unC + (Δ0 / unC)) / 3a، حيث u = (-1 + √ (-3)) / 2 و n هي إحدى القيم 1، 2، 3 أدخل القيم التي تريدها لحل المعادلة. يتطلب الأمر الكثير من الخطوات الحسابية، لكن في النهاية ستحصل على ثلاثة حلول!

   • في مثالنا، يمكننا الحل باختبار الإجابة عندما يكون n (1، 2، 3). الحلول التي نحصل عليها من هذه الاختبارات هي حلول محتملة للمعادلة التكعيبية ؛ أي حل يعطي القيمة صفر عند التعويض به في المعادلة هو حل صالح. على سبيل المثال، إذا حصلنا على حل 1 للاختبار، حيث أن التعويض بـ 1 في المعادلة x3 – 3×2 + 3x – 1 يعطي القيمة 0، فإن 1 هو أحد حلول المعادلة التكعيبية.