مثلثات فيثاغورس الشهيرة .. مثلثات مشهورة في هذا المقال سنتعرف على النظرية الرياضية المتعلقة بالمثلثات القائمة الزاوية والتي تتضمن في استخدامها عملية حساب الأسس والجذور التربيعية، وهنا المزيد من التفاصيل حول هذه المثلثات مع أمثلة . تابعنا
اقرأ المزيد عن
في هذه المقالة سوف نتعرف على مثلثات فيثاغورس الشهيرة
مثلثات فيثاغورس الشهيرة .. مثلثات مشهورة
مثلثات فيثاغورس الشهيرة
إنها علاقة في الهندسة بين الأضلاع الثلاثة لمثلث قائم الزاوية، وتنص على أن مربع الوتر في الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموعة مربعات الضلعين الآخرين، وهو ما أسماه فيثاغورس النظرية، وتعتبر من أقدم النظريات التي عرفتها الحضارات القديمة، وسميت على اسم عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس، وتعتبر هذه النظرية من أشهر إسهاماته في الرياضيات. أسس فيثاغورس أيضًا مدرسته للرياضيات في منطقة كورتونا في جنوب إيطاليا. ومن الجدير بالذكر أن هذه النظرية تستخدم علميًا في العديد من المجالات المختلفة.
نص نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على أن “مجموع مربعات أطوال ضلعي اليمين، وهما أقصر ضلعين في مثلث قائم الزاوية، يساوي مربع طول الوتر، وهو أطول ضلع في المثلث “. يتم تمثيل نظرية فيثاغورس بالرموز على النحو التالي a² + b² = c² B هما ضلعي مثلث قائم الزاوية، و c هو وتر المثلث القائم الزاوية، وأطول ضلع فيه. يمكننا أيضًا أن نقول إن عكس النظرية صحيح أيضًا، لأن المثلث الذي تنطبق عليه نظرية فيثاغورس هو بالضرورة مثلث قائم الزاوية.
قد يكون من المفيد أن تقرأ عنها
نظرية فيثاغورس
أهمية نظرية فيثاغورس
لنظرية فيثاغورس العديد من الاستخدامات المهمة، والتي تتمثل في النقاط التالية
- يظهر شكل ونوع المثلث. عندما يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الضلعين الآخرين، يكون مثلث قائم الزاوية، وعندما يكون مربع الوتر أطول من مربع الضلعين الآخرين، يكون المثلث منفرجًا، ولكن إذا كان مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الآخرين، فالمثلث حاد.
- تساعد النظرية في حساب أطوال الأضلاع المخفية، ليس فقط في المثلثات، ولكن أيضًا في المربعات والمستطيلات
- بمساعدة هذه النظرية، يحافظ البناة على القياسات الصحيحة للزوايا في تشييد المنازل والمباني.
إثبات نظرية فيثاغورس
يمكن إثبات هذه النظرية بعدد لا حصر له من البراهين، ونشر عالم الرياضيات إليشا سكوت لوميس فرضية فيثاغورس في عام 1927 م، والتي قدمت حوالي 370 دليلًا مختلفًا للنظرية مصنفة إلى أربعة أقسام رئيسية، وهي
- قسم الجبر الذي يربط بين أضلاع المثلث
- قسم هندسي يقارن المساحات
- القسم الحركي أو الديناميكي الذي يتعلق بخصائص القوة والكتلة
- المتجه
وتجدر الإشارة إلى أن نظرية فيثاغورس أثبتت هندسيًا على النحو التالي
نفترض أن هناك مربعًا توجد فيه النقاط (D و E و F و Z) على جوانبه الأربعة، وكل نقطة تقسم الضلع إلى جزأين A و B. الطول أ، ب، لإنتاج طول ضلع المربع الخارجي (أ + ب)، ويمكن التعبير عن مساحة المربع الخارجي بالقيمة (أ + ب) ²، والتي تساوي مساحة المثلثات الداخلية الأربعة للمربع ويمكن حسابها 4 x (½ x طول القاعدة x الارتفاع) = 2/4 xaxb = 2 ab بالإضافة إلى مساحة المربع الداخلي c ².
إثبات نظرية فيثاغورس هندسيًا
يمكنك أن تقرأ عنها
أمثلة على مثلثات فيثاغورس الشهيرة
مثال 1
AB C مثلث قائم الزاوية، أوجد طول الوتر c، مع العلم أن الضلع AB = 3، و C a = 4.
الإجابة (طول الوتر) ² = (مربع الضلع الأول) ² + (مربع الضلع الثاني) ²
bc² = ab² + bc²
ب ج² = 3 ² + 4 ²
ب ج² = 9 + 16 = 25
بعد حساب الجذر التربيعي bc = 5
مثال 2
ABC مثلث طول ضلعه 6، 12، 13، هل هو مثلث قائم الزاوية
الجواب وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن ضلع الطول 13 هو الوتر إذا كان المثلث قائمًا وفقًا لما يلي
13 ² = 169
6 ² + 12 ² = 36 + 144 = 180
13 ² 180
والنتيجة أن هذا المثلث غير صحيح
عكس نظرية فيثاغورس
على النقيض من نظرية فيثاغورس الشهيرة
ينص عكس النظرية إذا كان لدينا مثلث مربع مع أطول ضلع يساوي مجموع مربعات الضلعين الآخرين، فإن المثلث يكون قائمًا والزاوية المقابلة لأطول ضلع هي الزاوية القائمة.
فمثلا
يوجد مثلث طول ضلعه ٥ سم، ١٢ سم، ١٣ سم. هل المثلث مثلث قائم الزاوية
الاجابة
أطول ضلع في هذا المثلث هو 13 سم
13² = 169
الجانبان الآخران
12² + 5² = 25 + 144 = 169
وفقًا لنظرية فيثاغورس المشهورة، فإن هذا المثلث صحيح
مثلثات فيثاغورس الشهيرة .. في نهاية هذا المقال، تعرفنا على مثلثات فيثاغورس، نظرية فيثاغورس وأهميتها. تعلمنا أيضًا عن المثلث قائم الزاوية، وأهم الأمثلة لإثبات نظرية فيثاغورس ونقيضها.